対数平均温度差の導出【化工のお部屋】

こんにちは。化工見習いです！

今回は、対数平均温度差の導出を紹介していきます！！(スマホでは見切れるのでPC推奨)

対数平均温度差とは

対数平均温度差については、簡単にこちらの記事にまとめてますので、ご覧ください！

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導出

図のように、左（高温流入側）を1,右を2とする。

\(\ m\):流入流量, \(\ T\):温度, \(\ C\):比熱または熱容量, \(\ A\):伝熱面積, \(\ Q\):熱量

微小面積dAにおける、高温流体の失う熱量\(\ dQ>0\)、低温流体の得る熱量\(\ dQ>0\)を考えると、

\(\ dQ=h(T_h-T_c)dA=-m_hC_{p,h}dT_h=±m_cC_{p,c}dT_c\)

よって

\(\displaystyle dT_h=-\frac{dQ}{m_hC_{p,h}}\)

\(\displaystyle dT_c=±\frac{dQ}{m_cC_{p,c}}\)となり、

\(\displaystyle d(T_h-T_c)=-\frac{dQ}{m_hC_{p,h}±m_cC_{p,c}}=-\frac{hdA}{m_hC_{p,h}±m_cC_{p,c}}(T_h-T_c)\)

よって

\(\displaystyle \frac{d(T_h-T_c)}{T_h-T_c}=-\frac{hdA}{m_hC_{p,h}±m_cC_{p,c}}\)

\(\ T_h-T_c=ΔT\)として積分すると

\(\displaystyle ln(\frac{ΔT_2}{ΔT_1})=-\frac{hA}{m_hC_{p,h}±m_cC_{p,c}}\)

また、交換熱量\(\ Q>0\)は

\(\ Q=m_hC_{p,h}(T_{h1}-T_{h2})=±m_cC_{p,c}(T_{c2}-T_{c1})\)

よって

\(\displaystyle \frac{1}{m_hC_{p,h}±m_cC_{p,c}}=\frac{T_{h1}-T_{h2}+T_{c2}-T_{c1}}{Q}=\frac{ΔT_1-ΔT_2}{Q}\)

よって 

\(\displaystyle ln(\frac{ΔT_2}{ΔT_1})=-\frac{hA}{m_hC_{p,h}±m_cC_{p,c}}=\frac{hA}{Q}(ΔT_2-ΔT_1)\)

したがって

\(\displaystyle Q=hA\frac{ΔT_2-ΔT_1}{\displaystyle ln(\frac{ΔT_2}{ΔT_1})}=hAΔT_{lm}\)

対数平均温度差\(\ ΔT_{lm}\)は

\(\displaystyle ΔT_{lm}=\frac{ΔT_2-ΔT_1}{\displaystyle ln(\frac{ΔT_2}{ΔT_1})}\)

最後に

この導出が聞かれることはほぼ無いと思います。要するに「微小区間において①高温および低温流体の交換熱量は等しい(\(\ dQ=m_hC_{p,h}dT_h=m_cC_{p,c}dT_c\))ことと②その熱量は高温および低温流体の温度差に比例する(\(\ dQ=(T_h-T_c)hdA\))」ことを理解しておけば大丈夫です！

何か質問やコメントがあれば、宜しくお願い致します。